La Transmission

Publié le 5 janvier 2010 par Franck

transmissions mécaniques, l'usinage

Engrenage

Un engrenage à contact extérieur en action.

Un engrenage est un système mécanique composé de deux roues dentées servant :

soit à la transmission du mouvement de rotation entre elles
soit à la propulsion d'un fluide (on parle alors de pompe à engrenages).

Dans le cas de la transmission de mouvement, les deux roues dentées sont en contact l’une avec l’autre et se transmettent de la puissance par obstacle. Un engrenage est composé d’un pignon - c’est ainsi que l’on nomme la seule roue ou la roue la plus petite - et d’une roue, d’une crémaillère ou d’une couronne. Quand plus de deux roues dentées sont présentes, on parle de train d’engrenages.

Le profil le plus répandu, en mécanique générale, est le profil en développante de cercle. Deux types de dentures sont distinguées : les dentures droites et les dentures hélicoïdales. De même, il existe plusieurs types d’engrenages : les engrenages à axes parallèles, à axes concourants, à axes non concourants - dont font partie les engrenages à roue et vis sans fin - et les engrenages à pignon et crémaillère.

Le plus vieux mécanisme à engrenage connu est la machine d'Anticythère.

Généralités

Engrenages d'une usine de concassage.

Les engrenages sont utilisés dans toutes les branches de la mécanique pour transmettre des mouvements, de l’horlogerie jusqu’aux réducteurs de l’industrie lourde. La transmission se fait avec un très bon rendement énergétique étant donné qu'il est généralement supérieur à 95 % dans des conditions correctes de montage.

Le rapport de vitesses obtenu entre l’entrée et la sortie, également connu sous les dénominations de « rapport d'engrenage » et « rapport de transmission », ne dépend que des nombres de dents des roues en contact. Il est également égal au rapport des rayons, et, a fortiori, des diamètres des roues (au signe près).

Pour des transmissions à grand entraxe, en regard de la dimension des pièces, on préférera une chaîne, une courroie ou une cascade d’engrenages.

Vocabulaire

Les termes suivant sont employés dans la suite de l’article :

Denture : partie dentée d’une pièce mécanique.
Profil : il s'agit de la forme, dans une section droite, du flanc d’une dent.
Module : paramètre dimensionnel générateur relatif à la périodicité des dents donc à leur taille.
Engrenage : ensemble de deux ou plusieurs pièces mécaniques comportant des dentures et destinées à engrener ensemble.
- Engrenage à axes parallèles : engrenages dont les axes sont parallèles.
- Engrenage concourant : engrenages dont les axes ont un point d’intersection.
- Engrenage gauche : engrenage dont les axes ne sont ni parallèles, ni concourants.
Rapport de transmission (R) : rapport de la vitesse de sortie sur la vitesse d’entrée, soit aussi nombre de dents de l’entrée - dit menant - sur le nombre de dents de la sortie - dit mené - de l’engrenage. Si R est supérieur à 1 on parle de multiplicateur, si R est inférieur à 1 on parle de réducteur.

Les dents

Mise en évidence du point de contact entre les dents.

Il existe plusieurs types de dentures, aux propriétés particulières. La quasi totalité des formes sont dites conjuguées : pendant la rotation, les dents restent en contact dans un plan sagittal, et quand le lieu géométrique de ce point de contact est une droite, les profils des dents sont des développantes de cercle. Une exception notable est l’engrenage « Novikov », dit aussi quelquefois de « Fisher », dans lequel le contact entre deux dents se fait pendant un temps « ponctuel » tout le long du profil. Ces dentures sont donc toujours hélicoïdales, permettent de transmettre des puissances importantes avec de très bons rendements, même si le pignon n’a que peu de dents, mais exigent un positionnement rigoureux.

Profil en développante de cercle

C’est le profil presque universellement utilisé pour la transmission de puissance. La développante du cercle est la trajectoire d’un point d’une droite qui roule sans glisser sur un cercle. Ce cercle est appelé cercle de base, de diamètre d_b. La zone d’existence de la développante se situe entre le cercle de base et l’infini. Il n’existe pas de développante à l’intérieur du cercle de base. Il ne faut donc pas chercher à faire fonctionner un engrenage à l’intérieur des cercles de base des dentures qui le constituent.

Si on considère deux cercles de base associés à deux roues d’un même engrenage, il est possible de faire rouler sans glisser une droite simultanément sur les deux cercles. De ce fait la vitesse circonférentielle des points des cercles est la même que ceux de la droite. Un point de la droite (point d’engrènement) va générer, sur les deux pignons, le flanc de dent.

Engrenage classique

Engrenage classique : la droite intérieure roule sans glisser simultanément sur les deux cercles de base.

Si la droite passe entre les centres des cercles, on obtient l’engrenage classique. Les roues tournent alors en sens contraire et le rapport de transmission dépend des diamètres. Lorsqu’elle est extérieure, l’engrenage est dit paradoxal et les roues tournent dans le même sens.

Dans le cas de l’engrenage classique, et plus particulièrement des engrenages standards, les cercles de base sont rapprochés de telle sorte que la droite intérieure forme un angle de pression α avec la droite qui passe par les axes. Selon le standard, α vaut 20° en Europe, 25° aux US et 14.5° pour les anciens engrenages.

Les dents sont limitées à une zone autour du point I, dit « point d’engrènement », où les vitesses de glissement des dents sont infimes, ce qui contribue à un rendement optimal de l’engrenage. On obtient les deux flancs de dent en considérant les deux tangentes intérieures.

Engrenage paradoxal : la tangente commune est extérieure aux deux cercles. Les deux roues tournent dans le même sens.

La force exercée d’une dent sur l’autre se décompose en 2 : une tangentielle (utile) qui transmet le couple, et une radiale (parasite) qui tend à éloigner les roues. Un angle de pression petit à l’avantage de limiter cette force de répulsion parasite, mais donne une forme de dent fragile. À l’opposé, un angle de pression élevé donne des dents trapues donc plus résistantes, mais génère beaucoup de forces sur les axes.

Engrenage paradoxal

L’engrenage paradoxal^[1] est utilisé dans certains différentiels (différentiel Mercier ingénieur Renault). Les vitesses importantes de glissement relatif sur les dents permettent un « blocage » partiel du différentiel lorsque les roues du véhicule ne disposent pas de la même adhérence au sol. Il ne s’agit pas de blocage à proprement parler puisque la résistance au mouvement n’est pas obtenue par obstacle sinon par frottement. Pour assurer le relais de la prise des dents, il est souvent nécessaire de disposer les dents dans des plans radiaux différents, ou avoir recours à une dent en hélice (solution continue).

Génération des dents

Denture droite et denture hélicoïdale. Les trois pignons ont le même module apparent et les deux grandes roues le même nombre de dents.

Denture droite

La génératrice de forme des dents est une droite parallèle à l’axe de rotation. C’est le type de denture le plus courant. Il est utilisé dans toutes les applications de mécanique générale. En effet, il s'agit du système qui permet de transmettre le maximum d’effort. Néanmoins, son principal défaut est d’être bruyant.

Denture hélicoïdale

La génératrice de forme des dents est une ligne hélicoïdale de même axe que l’axe de rotation. Ce type de denture présente l’avantage d’être plus silencieux que la denture droite, en créant moins de vibrations. Les dentures hélicoïdales permettent également d’augmenter la conduite de la transmission, en faisant en sorte que le nombre de dents simultanément en contact devienne constant, ce qui permet de transmettre des efforts plus importants et surtout d’atténuer les vibrations et les bruits.

En contrepartie ce type de denture engendre un effort axial dont l’intensité dépend de l’angle d’inclinaison de denture. Les roulements ou les paliers doivent être dimensionnés pour reprendre cet effort. Pour les engrenages à axes parallèles, les hélices sont obligatoirement de sens contraires pour que les dentures puissent engrener, sauf dans le cas très particulier de l’engrenage paradoxal.

Engrenages à chevrons en V d’André Citroën, devenus emblème et logo des automobiles Citroën.

Engrenages à chevrons

Une denture à chevrons, ou denture « Citroën », est composée de deux dentures hélicoïdales mises en opposition de manière à annuler l’effort axial. Bien que séduisant du point de vue théorique, ce type de denture est en pratique compliqué à réaliser car nécessitant un excellent usinage pour une utilisation optimale. Il est de ce fait cher à réaliser. Les dentures à chevrons ne sont utilisées que dans l’industrie lourde. La plupart du temps, il s’agit de deux engrenages conjugués à hélices contraires et non de pignons monoblocs.

Engrenages à vis

Un engrenage à vis est un engrenage gauche constitué d’une vis sans fin et d’une roue à vis conjuguée, appelé « roue et vis sans fin ». Le profil de la vis est en général trapézoïdal.

Dans de nombreux cas, ce dispositif est irréversible, ce qui signifie que si la vis peut entraîner la roue, la roue ne peut pas, en raison des frottements et de l'angle de l'hélice de la vis, entraîner celle-ci. Cet aspect est intéressant notamment pour la commande d’un treuil qui ne peut pas se dérouler tout seul. Son rôle de réducteur de vitesse est aussi très intéressant, car il permet un rapport de rotation très élevé avec seulement deux éléments, et ce dans un espace réduit et avec un renvoi d'angle à 90° de meilleur rendement qu'un engrenage conique.

Étude géométrique

Pour les engrenages à axes parallèles

Les formules ci-dessous sont valables pour une denture normalisée.

diamètres primitifs :

$d i = m . z i$

entraxe :

$a = \frac{(d_1 + d_2)}{2}\, = \frac{m(z_1 + z_2)}{2}\,$

rapport d’engrenage ( $z 1$ : pignon, $z 2$ : roue) :

$u = \frac{z_2}{z_1}\,$

Génération d'un pignon par crémaillère.

rapport de transmission (vitesses) depuis un arbre d’entrée (e) vers un arbre de sortie (s) à travers 1 engrenage extérieur :

$i = \frac{\omega_\mathrm{s}}{\omega_\mathrm{e}} = \frac{N_\mathrm{s}}{N_\mathrm{e}} = \frac{z_\mathrm{e}}{z_\mathrm{s}}\,$

avec :

z : le nombre de dents,
N : ( $\omega\,$ ) : la rotation exprimée en tr/min (rad/s),
C : couple à la roue exprimé en N.m,
rapport de transmission d’un train d’engrenages :

$i_\mathrm{tot} = i_\mathrm{I} \cdot i_\mathrm{II} \cdot i_\mathrm{III} \ldots \cdot i_\mathrm{n}\,$

Taillage des pignons

Les dentures sont réalisées principalement par enlèvement de matière (usinage). Il s’agit le plus souvent d’un engrènement simulé entre un outil (pignon, crémaillère, ou fraise) et la roue à tailler. De ce fait, le module de denture est imposé par l’outillage.

Conditions d’engrènement

Il n’est pas possible de réaliser n’importe quel engrenage. Les bonnes conditions d’engrènement limitent le choix du nombre de dents de chaque pignon. Les critères à considérer sont :

Interférence entre les dents

**Nombre minimal de dents (pour éviter l’interférence)**
$Z A$	13	14	15	16	17
$Z B$	de 13 à 16	de 13 à 26	de 13 à 45	de 13 à 101	de 13 à ∞

Répartition des usures: Les nombres de dents doivent être si possible choisis premiers entre eux (ce qui permet à chaque dent d’une roue de rencontrer toutes les dents de l’autre).

Rapport de conduite: Il faut optimiser le nombre de dents en prise pour mieux répartir les charges, et ainsi à la fois diminuer les effets de fatigue sur les dents, et réduire le bruit. On a alors souvent recours aux engrenages hélicoïdaux.

Déport de denture et modification d’entraxe: Un couple de pignons donnés peut fonctionner dès lors que les dentures sont suffisamment imbriquées. Même s’il y a du jeu, l’entraxe étant alors plus grand. Dans ce cas, il est possible d’annuler le jeu en gonflant les dents d’un ou des deux pignons (ce qui revient à réduire la saillie au profit de la dent). Le rapport de transmission est inchangé mais les diamètres primitifs sont modifiés.

La plupart des engrenages standard sont sans déport de denture (la dent étant alors aussi grosse que la saillie), mais dans des cas très pointus (boîte de vitesses) cela est pratiqué pour deux raisons principalement. La première est qu'il n’existe pas de couple (Z1, Z2) permettant d’assurer à la fois le rapport (Z1/Z2) et l’entraxe (Z1+Z2), il faut donc faire varier (artificiellement) sa valeur en déportant au moins une denture. La seconde est que les dents du petit pignon, plus souvent sollicitées, sont grossies, et celles du grand pignon réduites, afin de leur conférer une même durée de vie (notion de fatigue).

En règle générale, s’il y a déport de denture, il n’est pas toujours possible de ne changer qu’un seul pignon dans un engrenage.

Types d’engrenages

Pignon sur une crémaillère.

Engrenage à roue et crémaillère

Comme chaque roue à développante de cercle peut être considérée comme ayant été engendrée par une crémaillère de référence, le premier type est l’engrenage à roue et crémaillère...

Engrenages parallèles ou cylindriques

Les axes des deux roues dentées sont parallèles.

Engrenages concourants ou coniques

Les axes des deux roues dentées sont concourants.

Engrenages gauches

Les axes des deux roues dentées ne sont pas dans le même plan. C'est notamment le cas des des engrenages gauches hélicoïdaux, des engrenages hypoïdes (à ne pas confondre avec les engrenages coniques) ou encore la roue et vis avec engrenage restreint.

Engrenage conique.

Engrenage gauche.

Engrenage conique.

Roue et vis

sans fin.

Trains d’engrenages

Un train d’engrenages est une combinaison d’engrenages.

Train simple

Le rapport de transmission est le produit des nombres de dents des roues menantes divisé par celui des roues menées. Soit :

$\frac{\omega_s}{\omega_e} = (-1)^n\frac{\prod Z_\text{menantes}}{\prod Z_\text{menees}}$

Photographie d'un train épicycloïdal comportant trois satellites.

Avec :

$ω e$ et $ω s$ respectivement les vitesses en entrée et en sortie du train d’engrenages
$\prod Z_\text{menantes}$ , le produit des nombres de dents des roues menantes
$\prod Z_\text{menees}$ , de même pour les roues menées
n le nombre de contacts extérieurs

Train planétaire (ou épicycloïdal)

Article détaillé : Train épicycloïdal.

Ce sont des systèmes composés de satellites montés sur un porte-satellite tournant autour de deux planétaires. Ils présentent donc trois éléments mobiles par rapport à un autre fixe. Ils sont utilisés tels quels dans les systèmes différentiels.

En bloquant un élément, on obtient, avec la même géométrie, différents rapports de réduction entre les éléments encore mobiles. C’est d’ailleurs le principe utilisé dans les boîtes de vitesses « automatiques ».

Ces trains sont très utilisés en mécanique car ils peuvent fournir des rapports de réduction élevés, avec des pièces de taille raisonnable, et des rendements acceptables. De plus leur géométrie aboutit souvent à une configuration où l’arbre d’entrée est coaxial avec l’arbre de sortie. On trouve dans le commerce des réducteurs épicycloïdaux compatibles avec des moteurs électriques (devenant du coup motoréducteurs).

Train sphérique [modifier]

Sur le principe le train sphérique se rapproche du train épicycloïdal. Les engrenages sont coniques et semblent donc disposés sur une sphère. C’est la géométrie du différentiel des essieux moteurs des véhicules automobiles. Ils combinent aisément la fonction renvoi d’angle, la réduction, et la fonction différentielle.

Détérioration des dentures

Les dentures peuvent être détériorées de deux manières :

par rupture d’une ou plusieurs dents,
par usure des surfaces de contact. Ce dernier point est traité en détail dans un des chapitres du wikilivre de tribologie consacré à l’endommagement des dentures.

Représentations normalisées

En dessin technique, la représentation des engrenages est codifiée par souci de simplification. On distinguera, le dessin proprement dit, du schéma.

Dessin technique : le noyau de la roue est dessiné en plein. Un pignon est toujours représenté comme s’il avait un nombre pair de dents et dans les coupes le creux de dents est placé dans le plan de coupe. Dans le cas des dessins d’ensemble, on impose indifféremment la priorité (premier plan) à la dent en prise de l’une ou l’autre roue de l’engrenage

Schéma cinématique : en vue radiale les engrenages sont représenté par leurs cercles primitifs (tangents). En vue axiale, un trait transversal rappelle l’engrènement entre les deux roues.